Tam giác ABC và tam giác A1B1C1 có cùng trọng tâm G .gọi G1 G2 G3 lần lượt là trọng điểm các tam giác BCA1 ABC1,ACB1
C/m véc tơ GG1+GG2+GG3=O
Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC tương ứng lấy các điểm A1, B1, C1. Gọi Ga, Gb, Gc theo thứ tự là trọng tâm các tam giác AB1C1, C1A1B, A1B1C và G, G1, G2 là trọng tâm của các tam giác ABC, A1B1C1, GaGbGc theo thứ tự đó. Chứng minh rằng G, G1, G2 thẳng hàng.
Từ giả thiết suy ra với mọi O đều có ?
\(\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)\) và \(\overrightarrow{OG_1}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}_1+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC}_1\right)\)
Mà :
\(\overrightarrow{OG_2=}\frac{1}{3}.\left(\overrightarrow{OGa}+\overrightarrow{OG_b}+\overrightarrow{OG_c}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC_1}\right)+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC_1}+\overrightarrow{OA_1}\right)+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}\right)\right)\)
\(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)+\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC}_1\right)\right)\)
\(=\frac{1}{3}\overrightarrow{OG}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OG_1}\)
Suy ra :
\(3\overrightarrow{OG_2}=\overrightarrow{OG}+2\overrightarrow{OG_1}\) với mọi O. Điều này có nghĩa là \(G,G_1,G_2\) thẳng hàng => Điều phải chứng minh
Cho tam giác ABC.Trên BC lấy A1,A2 đối xứng qua trung điểm của BC.Rồi lấy B1,B2,C1,C2 tương tự.Chứng minh G1,G2,G thẳng hàng(G là trọng tâm tam giác ABC,G2 là trọng tâm tam giác A1B1C1,G2 là trọng tâm tam giác A2B2C2)
Cho tứ diện ABCD. Gọi G 1 , G 2 , G 3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ABD. Chứng minh rằng ( G 1 G 2 G 3 ) / / ( B C D ) .
Gọi I, J và K lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD và BD. Theo tính chất trọng tâm của tam giác ta có:
CMR : G là trọng tâm tam giác G1G2G3 trong đó G1 là trọng tâm A'BC G2 là trọng tâm AB'C G3 là trọng tâm ABC' tam giác A'B'C' và tam giác ABC có cùng trọng tâm G
Cho lăng trụ tam giác ABC.MNP có thể tích V. Gọi G 1 ; G 2 ; G 3 ; G 4 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACM, AMB, BCM, V 1 là thể tích của khối tứ diện G 1 G 2 G 3 G 4 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. V = 27 V 1
B. V = 9 V 1
C. V = 81 V 1
D. 8 V = 81 V 1
Đáp án C.
Phương pháp
So sánh diện tích đáy và chiều cao của các khối chóp.
Cách giải
Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB, BC.
Vì G 2 ; G 3 ; G 4 là trọng tâm các tam giác MAC, MAB, MBC nên
G 2 ∈ M D ; M G 2 = 2 D G 2 G 3 ∈ M E ; M G 3 = 2 E G 3 G 4 ∈ M F ; M G 4 = 2 F G 4 ⇒ G 2 G 3 G 4 / / D E F ⇒ V 1 = V E . G 2 G 3 G 4 = F G 3 M G 3 . V M . G 2 G 3 G 4 = 1 2 V M . G 2 G 3 G 4
Lại có
V M . G 2 G 3 G 4 V M D E F = M G 2 . M G 3 . M G 4 M D . M E . M F = 2 3 . 2 3 . 2 3 = 8 27
⇒ V 1 = 1 2 8 27 V M D E F = 4 27 V M D E F
Lại có
S D E F = 1 4 S A B C ⇒ V M . D E F = 1 4 V M . A B C = 1 4 . 1 3 V = 1 12 V
Vậy
V 1 = 4 27 . V 12 = V 81
Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ADB. M là điểm di động bên trong tứ diện sao cho \(G_1M\) luôn song song với mặt phẳng (ACD). Tìm tập hợp những điểm M
Cho hình chóp S.ABC. Gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác ABC. Từ M kẻ các đường thẳng song song với SA, SB, SC lần lượt cắt các mặt bên SBC, SCA, SAB tại A 1 , B 1 , C 1 . Gọi G 1 là trọng tâm tam giác A 1 B 1 C 1 . Tỉ số S G 1 S M bằng
A. 2 3
B. 1 2
C. 3 4
D. 1 3
Cho hình chóp S.ABC. Gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác ABC. Từ M kẻ các đường thẳng song song với SA, SB, SC lần lượt cắt các mặt bên SBC, SCA, SAB tại A1, B1, C1. Gọi G1 là trọng tâm tam giác A1B1C1. Tỉ số S G 1 S M bằng
Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M;N;P;Q lần lượt là trung điểm của AB; BC;CD;DA.Chứng minh rằng:
a) véc tơ MP=1/2.(véc tơ AD+ véc tơ BC)
b) Hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm